ÁLGEBRA

 ÁLGEBRA SUPERIOR

ALUMNO: JESÚS MARTÍNEZ VALDEZ

GRUPO:LAM2

DOCENTE: OLGA MARÍA TESTA RODRÍGUEZ

ÍNDICE

1. RELACIÓN
2. DEFINICIÓN
3. TIPOS DE RELACIÓN
4. EJEMPLOS
5. FUNCIONES
6. DEFINICIÓN
7. TIPOS DE FUNCIONES
8. EJEMPLOS
9. DOMINIO DE FUNCIONES
10. IMAGEN DE FUNCIONES
11. EJEMPLOS DE DOMINIOS E IMAGEN DE FUNCIONES
12. COMBINACIONES
13. DEFINICIÓN
14. EJEMPLOS
15. PERMUTACIONES
16. DEFINICIÓN
17. EJEMPLOS
18. ÁLGEBRA MATRICIAL
19. DEFINICIÓN
20. TIPOS DE MATRICES
21. OPERACIONES CON MATRICES
22. EJEMPLOS DE OPERACIONES CON MATRICES

ÁLGEBRA.
El álgebra (del árabe: الجبر al-ŷabr'reintegración, re-composición') es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de  la aritmética.

ÁLGEBRA SUPERIOR
El conocimiento del álgebra superior, es indispensable para la formación matemática como principio, en cuanto a los temas que se desarrollan en esta materia se encuentran los conjuntos y en especial los conjuntos numéricos.

En álgebra superior se presentan los métodos generales de análisis y resolución de   Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; así como los conceptos fundamentales de la teoría de ecuaciones.
El álgebra superior es una combinación de tres disciplinas: álgebra lineal, álgebra abstracta y la topología general y algebraica. 




RELACIÓN.
DEFINICIÓN: Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B.
Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R ={(a,1),(c,2)}.

Relación entre conjuntos

Al combinar y trabajar conjuntos, se establecen relaciones entre ellos. Estas relaciones se representan mediante símbolos para que al hacer operaciones, sepamos de qué se trata.

Pertenencia

Este símbolo se usa para representar que un elemento determinado hace parte del conjunto señalado.

Así mismo, representamos que un elemento no pertenece al conjunto señalado, escribiendo el mismo símbolo, pero con una línea cruzada en la mitad.

Intersección 

Es el conjunto formado por los elementos comunes de A y C .

Unión 

Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a B como a A.

Diferencia

La diferencia se forma con los elementos de un conjunto que no pertenecen a otro. Dicho así, parece difícil de comprender, pero no lo es.

En la imagen se representa un conjunto con los elementos de J que no pertenecen a K. Eso quiere decir que ambos conjuntos tienen elementos comunes, pero queremos formar un conjunto con aquellos elementos del conjunto J que no forman parte de la intersección.

CLASIFICACIÓN DE LAS RELACIONES

• EQUIVALENCIA
• RELACIONES DE ORDEN
• FUNCIONES

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

Relación Reflexiva y Irreflexiva

Teorema: Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. 

Una relación A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

 

Relación Simétrica, Asimetrica, Antisimetrica Y Transitiva

      Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Simetrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento,el segundo tambien se relaciona con el primero, con simbolos: (x ,y) ∈  R  ⇒  (y ,x) ∈ R

Asimetrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

Antisimétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:          ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Transitiva: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero: 

FUNCION

DEFINICION:Es una regla que asocia elementos de un conjunto A con un elemento del conjunto B, del modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y solo un elemento del segundo conjunto.

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA.
Esta clasificacion obedece  a la forma en que estan relaciuonados los melementos del dominio con los del codominio. Comviene utilizar la notacion: f:Dp---Cf," Funcion que mapea el dominio Df en el codominio Cf"

FUNCION INYECTIVA (UNO A UNO)
Una funcion es inyectiva o uno a uno y se denota  como 1-1, si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del codominio.

FUNCION SUPRAYECTIVA (SOBRE)
Una funcion es suprayectiva o sobre si todo elemento de su codominio es imagen de por lo menos un elemnto de su dominio.

FUNCION BIYECTIVA (1-1 Y SOBRE)
Una funcion es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relacion de los elementos del dominio y los del codominio es biunicova. 

PARA MAYOR COMPRENSIÓN DEL TEMA REPRODUCE EL VÍDEO

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES

Es importante tener claros estos dos conceptos clave: dominio y codominio de una función algebraica, porque se utiliza muchas veces y porque ambos son sencillos de entender.

  

DOMINIO:Es el conjunto de valores que puede tomar X o que toma X para que exista la función.

CODOMINIO: Es el conjunto de valores que se obtiene al sustituir los valores del dominio en la función. 

EJEMPLOS:

Y=5X

FUNCIÓN LINEAL 
FUNCIÓN INYECTIVA
DOMINIO={TODOS LOS NÚMEROS REALES}
CODOMINIO={TODOS LOS NÚMEROS REALES}

Y=(X+5)²

FUNCIÓN CUADRÁTICA 
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
^{DOMINIO={TODOS LOS NÚMEROS REALES}}

^{CODOMINIO={TODOS LOS NÚMEROS REALES}}

Y=4x³+10x²+3x-5

FUNCIÓN CUBICA

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

DOMINIO = {TODOS LOS NÚMEROS REALES}

CODOMINIO = {TODOS LOS NÚMEROS REALES}

y=seno(x)

DOMINIO={R} 
CODOMINIO={-1, 1} 
PERIODO: 2pi 

y=coseno(x)

DOMINIO={R} 
CODOMINIO= {-1,1} 
PERIODO= 2pi 

y=tangente (x)

DOMINIO= {R,múltiplos impares de pi/2} 
CODOMINIO= {R} 
PERIODO= pi 

PARA MAYOR COMPRENSIÓN DEL TEMA REPRODUCE EL VÍDEO

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

	"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

DIVISIÓN DE MATRICES  La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B  tal que A/B = AB-1:   Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.   Ejemplo:   REPRODUCE EL VÍDEO PARA MAYOR COMPRENSIÓN DEL TEMA FORO DE DISCUSIÓN PREGUNTA ¿COMO CREES QUE SE RELACIONA EL ÁLGEBRA SUPERIOR CON LAS DEMAS RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS?